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Insieme Di Cantor

1. Premessa: diversi concetti di dimensione

 

Sappiamo dire abbastanza facilmente "quanto sono grandi" le semplici figure geometriche. Sappiamo calcolare sin dalle scuole elementari la superficie del triangolo, il volume di un cubo o la sua superficie.

 

Ma quando si comincia a parlare di insiemi più generici incontriamo qualche difficolta. Per esempio possiamo dire che un singolo punto ha lunghezza zero, e quindi un insieme finito di punti avrà lunghezza zero, perchè non c'è dubbio che:

 

0 + 0 + 0 + ... + 0 = 0

 

Mentre dato un segmento sull'asse x, del tipo [a,b], possiamo associare ad esso la lunghezza b - a.

 

Quindi, in termini di lunghezza, il segmento [a,b] è "più piccolo" di tutta la retta reale che ha lunghezza infinita.

 

Ma per grandezza possiamo intendere anche il numero di punti contenuti nell'insieme che si sta considerando, la cosiddetta cardinalità. Per esempio l'insieme formato da un singolo punto ha cardinalità uguale a 1, mentre la sua lunghezza era zero.

 

Il segmento [a,b] e formato da infiniti punti come l'intera retta reale, anzi c'è una corrispondenza biunivoca fra i punti del segmento [a,b] e queli della retta: ad ogni punto della retta si puoò associare un'unico punto del segmento. In altri termini [a,b] e la retta hanno la stessa cardinalità, ovvero hanno lo stesso numero di elementi.

 

Questo non è un paradosso, ma solo un diverso modo di misurare gli insiemi di punti, e quindi le figure geometriche.

 

2. L'insieme di Cantor

 

Questo famoso insieme gode di una curiosa proprietà: la sua lunghezza è zero ma la sua cardinalità è infinita con la potenza del continuo (cioè contiene tanti punti quanti sono i numeri reali).

 

Vediamo come è fatto questo strano insieme. Prendiamo il segmento unitario, cioè quello di estremi 0 e 1 sull'asse x del piano cartesiano:

 

Segmento [0,1]

 

Ora eliminiamo il terzo centrale, cioè il segmento formato da tutti i punti compresi fra 1/3 e 2/3:

 

 

Ho eliminato un segmento di lunghezza 1/3.

 

Ripetiamo il procedimento sui due intervalli rimasti dopo il primo passo e otteniamo

 

 

Ho eliminato due segmenti di lunghezza 1/9.

 

Iteriamo questo procedimento per un numero infinito di volte:

 

 

L'insieme di Cantor è l'insieme dei punti compresi del segmento unitario che rimangono dopo aver asportato tutti questi intervalli.

 

Come già anticipato, questo insieme ha lunghezza nulla ma contiene una infinità non numerabile di punti.

 

3. Dimostrazione (quasi)rigorosa

 

Calcoliamo la lunghezza. Basta sottrarre alla lunghezza del segmento unitario, che è pari a 1, la lughezza totale dei segmenti asportati, che è pari a:

 

 

Quindi la lunghezza dell'insieme di Cantor è uguale a 1 - 1 = 0.

 

Si potrebbe pensare che l'insieme di Cantor non sia altro che una collezione finita di punti, invece si dimostra che questo insieme così "piccolo" contiene tanti punti quanti sono i numeri reali!

 

Infatti se scrivo in base 3 i numeri reali contenuti nell'insieme di Cantor questi saranno tutti del tipo:

 

 

Con tutte le cifre dopo la virgola uguali a 0 oppure a 2, perchè se uno di loro fosse uguale a 1 allora il numero cadrebbe in uno dei segmenti asportati. Per esempio:

 

Allora ci sono tanti punti nell'insieme di Cantor tante quante solo le possibilità di associare a un numero naturale (il posto della cifra a) il valore 0 o il valore 2. E queste possibilità sono infinite con la potenza del continuo (cioè la cardinalità dei

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