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      Chinese (Traditional)

Triangolo di Sierpinski

  1. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
  2. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2
  3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
  4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
  5. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16

Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza.
E' quindi facile dedurre che al passo k:

  • la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];
  • il numero di triangoli è 3k.

Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.

Caratteristiche:

  • http://www.webfract.it/FRATTALI/similSierp.gifautosimilitudine:
    • Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
      APPROFONDIMENTO
  • Perimetro infinito:
    • Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.
      APPROFONDIMENTO
  • Area nulla:
    • L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
    • Dimensione frazionaria:
      • il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più di una linea e meno di una superficie!
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