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1. Premessa: diversi concetti di dimensione

 

Sappiamo dire abbastanza facilmente "quanto sono grandi" le semplici figure geometriche. Sappiamo calcolare sin dalle scuole elementari la superficie del triangolo, il volume di un cubo o la sua superficie.

 

Ma quando si comincia a parlare di insiemi più generici incontriamo qualche difficolta. Per esempio possiamo dire che un singolo punto ha lunghezza zero, e quindi un insieme finito di punti avrà lunghezza zero, perchè non c'è dubbio che:

 

0 + 0 + 0 + ... + 0 = 0

 

Mentre dato un segmento sull'asse x, del tipo [a,b], possiamo associare ad esso la lunghezza b - a.

 

Quindi, in termini di lunghezza, il segmento [a,b] è "più piccolo" di tutta la retta reale che ha lunghezza infinita.

 

Ma per grandezza possiamo intendere anche il numero di punti contenuti nell'insieme che si sta considerando, la cosiddetta cardinalità. Per esempio l'insieme formato da un singolo punto ha cardinalità uguale a 1, mentre la sua lunghezza era zero.

 

Il segmento [a,b] e formato da infiniti punti come l'intera retta reale, anzi c'è una corrispondenza biunivoca fra i punti del segmento [a,b] e queli della retta: ad ogni punto della retta si puoò associare un'unico punto del segmento. In altri termini [a,b] e la retta hanno la stessa cardinalità, ovvero hanno lo stesso numero di elementi.

 

Questo non è un paradosso, ma solo un diverso modo di misurare gli insiemi di punti, e quindi le figure geometriche.

 

2. L'insieme di Cantor

 

Questo famoso insieme gode di una curiosa proprietà: la sua lunghezza è zero ma la sua cardinalità è infinita con la potenza del continuo (cioè contiene tanti punti quanti sono i numeri reali).

 

Vediamo come è fatto questo strano insieme. Prendiamo il segmento unitario, cioè quello di estremi 0 e 1 sull'asse x del piano cartesiano:

 

Segmento [0,1]

 

Ora eliminiamo il terzo centrale, cioè il segmento formato da tutti i punti compresi fra 1/3 e 2/3:

 

 

Ho eliminato un segmento di lunghezza 1/3.

 

Ripetiamo il procedimento sui due intervalli rimasti dopo il primo passo e otteniamo

 

 

Ho eliminato due segmenti di lunghezza 1/9.

 

Iteriamo questo procedimento per un numero infinito di volte:

 

 

L'insieme di Cantor è l'insieme dei punti compresi del segmento unitario che rimangono dopo aver asportato tutti questi intervalli.

 

Come già anticipato, questo insieme ha lunghezza nulla ma contiene una infinità non numerabile di punti.

 

3. Dimostrazione (quasi)rigorosa

 

Calcoliamo la lunghezza. Basta sottrarre alla lunghezza del segmento unitario, che è pari a 1, la lughezza totale dei segmenti asportati, che è pari a:

 

 

Quindi la lunghezza dell'insieme di Cantor è uguale a 1 - 1 = 0.

 

Si potrebbe pensare che l'insieme di Cantor non sia altro che una collezione finita di punti, invece si dimostra che questo insieme così "piccolo" contiene tanti punti quanti sono i numeri reali!

 

Infatti se scrivo in base 3 i numeri reali contenuti nell'insieme di Cantor questi saranno tutti del tipo:

 

 

Con tutte le cifre dopo la virgola uguali a 0 oppure a 2, perchè se uno di loro fosse uguale a 1 allora il numero cadrebbe in uno dei segmenti asportati. Per esempio:

 

Allora ci sono tanti punti nell'insieme di Cantor tante quante solo le possibilità di associare a un numero naturale (il posto della cifra a) il valore 0 o il valore 2. E queste possibilità sono infinite con la potenza del continuo (cioè la cardinalità dei

  1. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
  2. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2
  3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
  4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
  5. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16

Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza.
E' quindi facile dedurre che al passo k:

  • la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];
  • il numero di triangoli è 3k.

Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.

Caratteristiche:

  • http://www.webfract.it/FRATTALI/similSierp.gifautosimilitudine:
    • Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
      APPROFONDIMENTO
  • Perimetro infinito:
    • Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.
      APPROFONDIMENTO
  • Area nulla:
    • L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
    • Dimensione frazionaria:
      • il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più di una linea e meno di una superficie!

« Meraviglie senza fine saltano fuori da semplici regole, se queste sono ripetute all'infinito. »

Benoît Mandelbrot

I frattali, con le loro forme misteriose e i loro splendidi colori, suscitano la nostra meraviglia e ci affascinano per la loro bellezza.

Ma che cosa sono è in realtà i frattali? La definizione più semplice e intuitiva li descrive come figure geometriche caratterizzate dal ripetersi  all'infinito di uno stesso motivo, su scala sempre più ridotta. Ciò significa che, ingrandendo la figura, si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.Contrariamente a qualsiasi altro oggetto geometrico, un frattale, invece di perdere i dettagli quando viene ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari, nuove forme prima invisibili solo perchè troppo piccole. In molti frattali questi particolari, che si vanno man mano scoprendo, assomigliano alla figura nella sua totalità (autosimilarità o autosomiglianza : una parte dell'oggetto è simile al tutto). In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico. La geometria frattale è di recente concezione,i primi studi sono quelli di G. Julia all’inizio del secolo scorso. Solo con l’avvento dei calcolatori, che hanno offerto la necessaria potenza di calcolo, si è potuti giungere alle  affascinanti immagini generate dalle formule. Negli anni ottanta, si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. Uno dei frattali biomorfi più riuscito è la foglia di felce, i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura.

 

In matematica, l'atteggiamemto corrente è quello di considerare fra

ttale un insieme (F) che abbia proprietà simili alle quattro elencate:

1)  Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore,

riproducono tutto  F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

2)  Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.

4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica: anche se i frattali possano essere rappresentati in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (dal latino fractus). In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettam

ente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia costituiscono le due principali famiglie di frattali che possono venire rappresentati, sulla base delle regole scoperte dai due matematici Mandelbrot e Julia.

 

 

 

L'insieme di Mandelbrot è l'insieme dei punti C del piano complesso per i quali non è divergente la serie definita dalla legge ricorsiva

Zn = Zn-12+ C , Z0 = 0

 

Iterando la formula per ogni punto del piano complesso, è quindi possibile suddividere i punti in due categorie:

  • punti che appartengono all'insieme di Mandelbrot
  • punti che non appartengono all'insieme di Mandelbrot

Nella figura seguente, i punti dell'insieme di Mandelbrot sono stati colorati di nero:

Insieme di Mandelbrot B/N

I valori Zn ottenuti dal processo di iterazione descrivono un percorso (chiamato "orbita") sul piano complesso. E' quindi possibile immaginare il procedimento di calcolo con cui si verifica l'appartenenza di un punto C all'insieme come la costruzione dell'orbita del punto C e la sua osservazione:

  • se l'orbita va all'infinito significa che la serie diverge e quindi C non appartiene all'insieme.
  • se l'orbita non va all'infinito significa che la serie non diverge e quindi che C appartiene all'insieme.

E' ovviamente impossibile calcolare un'orbita completa, perchè questa è costituita da un numero infinito di punti Zn e quindi richiederebbe un numero infinito di iterazioni per essere calcolata. Fortunatamente, è possibile dimostrare che se il modulo di Zn diventa superiore a 2 (vale a dire se l'orbita esce dal cerchio centrato nell'origine di raggio 2), allora l'orbita diverge.
Grazie a questo risultato, è possibile riconoscere i punti che non appartengono all'insieme perchè la loro orbita, dopo un certo numero di iterazioni, esce dal cerchio di raggio 2. Purtroppo, può essere necessario un numero di iterazioni molto elevato prima che l'orbita di un punto non appartenente all'insieme esca dal cerchio. Nel caso di punti appartenenti all'insieme, l'orbita non esce mai dal cerchio, nemmeno dopo un numero infinito di iterazioni. Per questo motivo si fissa un numero massimo di iterazioni, dopo le quali si assume che se l'orbita non è ancora uscita dal cerchio allora non ne uscirà mai e quindi il punto considerato fa parte dell'insieme di Mandelbrot.

E' anche possibile assegnare un colore ai punti che non appartengono all'insieme di Mandelbrot. Esistono molti modi per farlo: il più semplice è detto "metodo del tempo di fuga" e consiste nell'assegnare ai punti un colore che dipende dal numero di iterazioni che sono necessarie per capire che non appartengono all'insieme.

Si può dare una spiegazione intuitiva del nome di questo metodo: si immagini che tutti i punti del piano siano attratti sia dall'insieme di Mandelbrot che dalla retta impropria. E' quindi facile capire perchè i punti più vicini all'insieme abbiano orbite che sfuggono all'infinito più lentamente di quelle relative a punti più lontani dall'insieme.
In quest'ottica, il colore dei punti può essere interpretato come il tempo impiegato dalla loro orbita per sfuggire all'attrazione dell'insieme di Mandelbrot e corrisponde ad una stima della velocità con cui l'orbita diverge.

Insieme di Mandelbrot

 

La funzione nativa utilizzata nel programma DFG ha il compito di assegnare un colore ad ogni punto di un'area rettangolare del piano complesso (rappresentata da un array di interi).

Per quanto appena detto, le operazioni svolte dalla funzione per ogni punto C dell'immagine sono le seguenti:

  • Iterazione della formula Zn = Zn-12+ C partendo dal valore iniziale Z0=  0.
  • Se il modulo di Zn diventa maggiore di 2, allora C non appartiene all'insieme. Il colore da assegnargli dipende dal numero di iterazioni effettuate (n). Dato il valore n, la funzione ottiene i valori RGB del colore da assegnare al punto richiamando un metodo di una sottoclasse della classe Palette.
  • Se dopo N_MAX iterazioni il modulo di Zn non è ancora diventato maggiore di 2, allora si assume che C appartenga all'insieme e lo si colora di nero.

Osservazione: le immagini vengono memorizzate nel sistema in formato "grezzo" sotto forma di array di interi a 32bit. La loro occupazione di memoria è quindi notevole, pari a: altezza*larghezza*4 bytes.
Un possibile miglioramento delle prestazioni globali del sistema consiste nell'utilizzare BYTE (che occupano solo 1byte) al posto di INT, ottenendo così un'occupazione di memoria per un'immagine pari a un quarto di quella attuale. Questo è possibile se si trasferisce il compito di trasformare n in una tripla RGB dai DFGSlave al DFGClient. In altre parole, i DFGSlave si limitano a riempire un array di BYTE con valori del tipo n%256, che permettono al client, tramite l'utilizzo di una sottoclasse della classe Palette, di risalire alla tripla RGB di ciascun punto dell'immagine.
Questo metodo presenta anche il vantaggio di rendere inutile l'inserimento della palette da utilizzare per la generazione dell'immagine tra i parametri di Messaggio_Mandelbrot, diminuendone fortemente le dimensioni.

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