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Attrattore di Lorenz

Partiamo dalla domanda: " che cos'è un attrattore strano?"

In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito attrattore, le traiettorie che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se leggermente perturbate. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, una varietà, o anche un insieme più complicato dotato di struttura frattale e noto con il nome di attrattore strano. La descrizione degli attrattori dei sistemi dinamici caotici è stata uno dei successi della teoria del caos.

Ora andiamo ad analizzare l'attrattore per antonomasia (che come vededte è anche il logo del sito) :

Il modello di Lorenz nasce nel 1963 dalla semplificazione delle equazioni di Navier-Stokes che descrivono il comportamento dinamico di uno strato di fluido che presenta moti convettivi a causa di una differenza di temperatura applicata fra la superficie inferiore e quella superiore.Il modello `e costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z:

 

                                                                                                                                                              dx/dt = σ(y − x)

 

dy/dt = rx − xz − y

                                                                                                                                                              dz/dt = xy − bz

Nasce così un sistema caotico ossia:

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

1) Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d’aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.

2) Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l’andamento del sistema con precisione assoluta a partire da assegnate condizioni al contorno, ovvero l’evoluzione del sistema è descritta, nello spazio delle fasi, da innumerevoli “orbite” (traiettorie di stato) diverse tra loro.

 

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